Casual
РЦБ.RU

Некоторые статистические закономерности динамики курса валютной пары "евро-швейцарский франк"

Август 2007


    В настоящее время издано множество книг и статей по биржевой торговле, в которых даются рекомендации по успешной (прибыльной) работе на финансовых рынках. Эти рекомендации, по мнению авторов, позволяют участникам рынка разрабатывать системы принятия решений, основанные на положениях фундаментального или технического анализа, использовании новостного потока и т. д.

    Базисом таких систем в подавляющем большинстве случаев являются либо данные истории рыночных цен и объемов сделок, либо прогнозы экономических данных на будущие периоды времени. При этом довольно редко учитываются особенности рыночного ценообразования как случайного процесса.
    Известный британский статистик М. Дж. Кендалл еще в 1950-е гг. доказал, что движение рыночных цен - это как бы случайное блуждание (случайный процесс), а цены - случайные величины. Исходя из этого, цена рыночного инструмента принимает значения, которые не поддаются точному прогнозированию. Кроме того, различные рыночные инструменты (цены или их производные, например разности цен) могут быть как зависимыми переменными, когда они в какой-то степени зависят от предыдущей истории, так и независимыми, в случае если всякая связь с историей отсутствует. Сами случайные процессы могут быть стационарными, сохраняющими свои характеристики во времени, или нестационарными.
    В каждом конкретном случае при разработке эффективной системы принятия решения необходимо учитывать перечисленные выше характеристики. В действительности чаще всего встречаются крайности: либо не задумываются о случайном характере ценообразования, либо, напротив, считают, что такие процессы являются нестационарными, а их параметры в каждый момент времени не зависят друг от друга.
    Для того чтобы в некоторой степени прояснить ситуацию и выявить хотя бы некоторые из возможных вариантов сочетания характеристик ценообразования как случайного процесса, был проанализирован курс валютной пары "евро-швейцарский франк". В качестве исходных данных приняты дневные значения Bid с 29 декабря 1999 г. по 13 апреля 2007 г., взятые из архива группы компаний "Форекс клуб" (www.fxclub.org). Полученная выборка состоит из N = 1639 значений. Длина выборки в процессе вычислений и различных преобразований может изменяться. Так, если анализу подвергается последовательность дневных изменений цены, то полученный ряд будет состоять из 1638 значений. Если рассматриваются серии значений, соответствующих 5 последовательным дням, то объем выборки примет значение 1635 и т. д.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА

    Динамика курса евро/швейцарский франк анализировалась методами статистики. В соответствии с этими методами выдвигается некоторая статистическая гипотеза (например, о стационарности процесса или независимости последовательных значений курса), которая затем проверяется по определенным правилам путем сопоставления выдвинутых предположений с выборочными данными. На основе этого сравнения делается вывод о справедливости (несправедливости) выдвинутой гипотезы.
    Вероятность, с которой принимается верная гипотеза, называется мощностью критерия М. Вероятность a = 1 - М, на основании которой можно отвергнуть верную гипотезу, называется уровнем значимости и выбирается достаточно малой. Но придавать этой вероятности слишком малые значения нецелесообразно, так как при этом появляется опасность возникновения так называемой ошибки второго рода, когда можно принять неверную гипотезу. Обычно величину уровня значимости принимают в пределах 0,01-0,05.
    Методы статистических проверок гипотез разработаны К. Пирсоном, С. Стьюдентом, Р. Фишером, А. Н. Колмогоровым, Н. В. Смирновым и другими математиками. Процедура принятия решения по различным методикам приблизительно одинакова. Для практической проверки рассматриваемых гипотез вначале, используя опытные (из реальной истории цен) значения параметра, вычисляется критерий Копытн, который затем сравнивается с соответствующим критическим значением Ккрит при заданном уровне значимости. Если опытное значение попадает в область принятия гипотезы Копытн" Ккрит, то гипотезу принимают. Если опытные значения критерия попадают в критическую область Копытн" Ккрит, то гипотезу отвергают.
    В представленном исследовании использованы метод хи-квадрат Пирсона и критерий Колмогорова-Смирнова.
    Основные принципы проверки статистических гипотез применительно к рыночным ценам были разработаны К. Шерри.

АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНОСТИ ПРОЦЕССА ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

    Стационарность, т. е. независимость характеристик процесса от времени, означает, что движущие силы, управляющие данным процессом, и законы (правила игры), по которым он существует и развивается, остаются неизменными в течение исследуемого интервала времени.
    Наиболее простой и естественный способ проверки стационарности состоит в том, что всю выборку (историю цен в рассматриваемом интервале времени) разбивают на 2 или более последовательных частей. Затем для каждой из частей определяют эмпирическую кумулятивную функцию распределения исследуемого параметра, после этого кумулятивные функции распределения попарно сравнивают. В данном случае целесообразно использовать критерий Колмогорова-Смирнова, согласно которому вычисляется статистика:

    ,
    где , n1 и n2 - объемы выборок;
     - эмпирические функции распределения, построенные по данным первой и второй выборок. При a = 0,01 Ккрит = 1,627, а при a = 0,05 Ккрит = 1,358.

    Графические результаты сравнения кумулятивных функций распределения в случае разделения всей рассматриваемой истории курса на две половины представлены на рис. 1. В качестве величины курса взяты значения на момент закрытия1.
    Как показано на рис. 1, функции распределения двух половин существенно различаются между собой. О большом расхождении двух распределений также свидетельствует расчет критерия Колмогорова-Смирнова, который составил приблизительно 12,5. Этот показатель значительно выше, чем приведенные выше величины Ккрит. Аналогичные результаты получаются при разделении общей выборки на 3 и более частей, вплоть до 10.
    Следовательно, ценообразование курса валютной пары "евро-швейцарский франк" можно считать нестационарным процессом. Это относится ко всем комбинациям, основанным на значениях курса, в частности к скользящим средним различных модификаций.
    При игре на рынке FOREX выигрыш зависит не столько от значения курса, сколько от его изменения.
    Перейдем к рассмотрению дневного изменения курса как процесса во времени. Для этого вместо ряда значений курса Closei (i - номер дня из выборки истории) будем анализировать ряд ЖСi = Closei -
    - Closei - 1. Результаты деления выборки на две части приведены на рис. 2.
    В данном случае обе функции распределения различаются несущественно. Величина Копытн по критерию Колмогорова-Смирнова составила 0,81, что меньше критических значений. Следовательно, оснований отвергать гипотезу о стационарности случайной величины ЖС нет.
    Попробуем увеличить число разбиений общей выборки, а затем сравним функции распределения каждой пары. В табл. 1 приведены опытные значения критерия Колмогорова-Смирнова для 5 (верхняя часть таблицы) и 10 (нижняя часть) разбиений.
    Пересечение строчки и столбца табл. 1 дает значение критерия Колмогорова- Смирнова при сравнении соответствующих областей разбиения. Так, например, в пересечении строки 4 и столбца 5 в верхней половине находится значения 1,057 критерия Колмогорова-Смирнова для областей 4 и 5 при разбиении всей выборки на 5 равных частей, а в пересечении строки 5 и столбца 4 - значение критерия 0,667 (в нижней половине таблицы) для областей 4 и 5, но уже при разбиении выборки на 10 частей.
    Из приведенных данных видно, что почти все значения критерия Колмогорова-Смирнова находятся в диапазоне принятия гипотезы о стационарности процесса при уровнях значимости 0,01-0,05. Исключение составляет значение критерия 1,410 для областей 1 и 2 при разбиении общей выборки на 5 частей, которое выше критического числа для a = 0,05, но ниже, чем для a = 0,01. При другом количестве разбиений 3, 4, 6, 7, 8 и 9 значения Копытн находятся также в области принятия гипотезы о стационарном характере процесса.
    Следовательно, с высокой долей вероятности можно считать, что ряд, состоящий из дневных изменений курса евро/швейцарский франк, имеет функцию распределения, не зависящую от времени. Анализируемая продолжительность ряда составила 160-820 рабочих дней.
    Кстати, как показали расчеты, разность курса и его средней скользящей за 10 периодов также составляет стационарный процесс.
    Эти результаты следует с осторожностью распространять на не исследуемые варианты. Необходимо каждый новый вариант, если изменены диапазоны времени или интервалы вычитания цен (2 дня и более) подвергать отдельному анализу.

АНАЛИЗ НЕЗАВИСИМОСТИ ПРОЦЕССА ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

    Следует различать понятия "случайность" и "независимость". Случайная величина принимает то или иное значение с некоторой вероятностью. Независимость же подразумевает, что случайная величина принимает значение независимо от предыдущих значений, т. е. предыстории.
    Если случайная величина имеет значения Ci (i = 1, 2?), независимые друг от друга и, соответственно, от предыстории, то ряд ЖCi = Ci - Ci-1 должен подчиняться определенным закономерностям. Представим ряд ЖCi в несколько ином виде. Так, если изменение цены на i-м шаге имеет положительное значение (ЖCi " 0), заменим его числовое значение на символ U (Up), а если ЖCi " 0 - на D (Down). Посмотрим, как будет изменяться цена в течение 2 дней. Если в какой-то день цена упала, а на следующий день выросла, то получим комбинацию символов DU; если курс падал два дня подряд - DD и т. д. Всего возможны 4 комбинации: UU, UD, DU и DD2. Пройдясь по всей выборке, подсчитаем суммарные количества AUU, AUD, ADU и ADD случаев выпадения каждой из перечисленных комбинаций.
    Сумма всех событий равна числу наблюдений (А = N13). Если ряд Ci имеет независимые элементы, то теоретическая вероятность появления событий AUU и ADD равна 1/6, а теоретическая вероятность появления событий AUD и ADU - 1/3. Это означает, что чередование подъемов и снижений независимых величин должны происходить чаще, чем повторение подъемов или снижений.
    С учетом сказанного теоретические значения числа появлений событий UU и DD следующие: BUU = BDD = 1637  1/6; появление событий UD и DU - BUD = BDU =
    = 1637  1/3. Для сравнения реальных данных с теоретическими с целью принятия решения по гипотезе о независимости Ci необходимо вычислить статистику хи-квадрат Пирсона:

    , (1)
    где j,k соответствуют U и D. Критерий Kкрит находят из распределения хи-квадрат для заданного уровня значимости числа степеней свободы, которое равно числу элементов за вычетом числа накладываемых связей. В данном случае элементов 4, а связь только одна. Следовательно, число степеней свободы равно 3.

    После проведения расчетов было получено следующее количество появлений каждого события: BUU = 447, BUD = 405; BDU = 406, BDD = 379. Подставив полученные значения в формулу (1), получаем Kопытн = 224,5.. При уровне значимости, равном 0,05, Kкрит = 7,81 и при 0,01 Kкрит = 11,34. Как видно из полученных данных, Kопытн много больше Kкрит. Таким образом, гипотеза о независимости Сi дневных закрытий курса евро/швейцарский франк следует отвергнуть.
    Зависимость курса валютной пары от предшествующих значений является, по-видимому, ожидаемым результатом. Действительно, если вчера курс составлял 1,53, то маловероятно, что сегодня он достигнет отметки 1,60. Вообще, зависимость между соседними дневными значениями курса весьма велика: коэффициент корреляции составляет 0,997.
    Перейдем к рассмотрению ряда ЖCi разности последовательных значений курса. Повторим описанную выше процедуру формирования новой последовательности. Если ЖCi - ЖCi - 1 положительная, то члену новой последовательности присвоим значение U, если эта разность отрицательная - то D, и т. д. Суммировав количество появлений каждого из событий UU, UD, DU и DD, получаем следующий результат: BUU = 283, BUD = 542, BDU = 541, BUU = 270. Теоретические значения вероятностей появления отдельных комбинаций остаются прежними. Подставляя соответствующие значения в формулу (1), получаем Kопытн = 0,47. Эта величина несущественна по сравнению с Kкрит = 7,81 или Kкрит = 11,34.
    Таким образом, в отличие от величины курса валютной пары "евро-швейцарский франк", его дневные изменения независимы друг от друга и, следовательно, от предыстории.
    Возникает вопрос: являются ли независимыми цепочки из трех последовательных дневных изменений курса евро/швейцарский франк?
    Чтобы ответить на поставленный вопрос, продолжим описанный выше процесс и проследим, как изменялся курс в течение 4 дней. В этом случае будем иметь 8 теоретических значений величины В, а именно, BUUU = BDDD = 1/24, BUUD = BDDU = BUDD = BDUU = 1/8, BUDU = BDUD = 5/24. Процесс можно продолжить, т. е. рассмотреть цепочки изменений курса за большее число дней. Для цепочки из 4 последовательных дневных изменений курса теоретические значения коэффициентов В следующие: BUUUU= BDDDD=1/120; BUUUD = BUDDD = BDUUU = BDDDU = 1/30; BUUDU = BUDUU = BDUDD = BDDUD =3/40; BUUDD = BDDUU = 1/20; BUDUD = BDUDU = 2/15; BUDDU = BDUUD = 11/120.
    Мы произвели расчеты цепочек, включающих 8 следующих друг за другом изменений курса. Результаты приведены в табл. 2. Графа "Порядок" обозначает длину цепочки. Как видно из приведенной таблицы, все цепочки независимые.
    С практической точки зрения представляет интерес рассмотрение такого события, как возникновение и чередование больших, положительных или отрицательных, изменений курса. Иными словами, появляются ли большие движения курса независимо друг от друга или они зависят от предыстории?
    Разделим диапазон дневного изменения курса евро/швейцарский франк на 3 части. Для получения области 1 больших отрицательных изменений курса задаем некоторое значение квантили b и определяем, согласно функции распределения (см. рис. 2), соответствующее ему значение ЖC1. Все отрицательные изменения курса, которые по абсолютной величине превосходят ЖC1, составят область 1, причем они имеют вероятность b. Область 3 больших положительных изменений курса ограничим снизу квантилью
    1 - b и соответствующим значением ЖC3. Изменения курса в этой области также наблюдаются с вероятностью b. Отметим, что абсолютные величины отметок ЖC1 и ЖC3 имеют приблизительно одинаковые значения. Например, квантили уровней 0,05 и 0,1 соответственно равны -0,0053 и -0,0040, а квантили 0,9 и 0,95 - 0,0041 и 0,0053.
    Наконец, область 2 составят средние значения изменений курса, вероятность их наблюдения равна 1 - 2b. Если изменение курса переместилось в область 1, а на следующий день - в область 3, то обозначим такое событие А13, если изменение курса из области 3 следует за изменением курса из области 2, получим событие А23. Примем гипотезу о независимости попадания изменения курса в любую из областей. Тогда вероятность P события А23 равна произведению вероятностей попадания величины в области 2 и 3, а именно P23 = b (1 - 2 b). Для учета всех возможных вариантов составим таблицу сопряженности по К. А. Браунли.
    При расчете теоретических значений показатель вероятности (табл. 3) умножают на число наблюдений. Проверку гипотезы о независимости чередования больших и малых значений изменения курса осуществим путем сравнения теоретических и опытных частностей с использованием критерия согласия хи-квадрат.
    Результаты расчетов для различных размеров областей (т. е. разных b) представлены на рис. 3. Для наглядности вместо квантилей на оси абсцисс отмечены соответствующие величины изменения курса4.
    Как видно на рисунке, небольшие изменения курса (20-25 пипсов) возникают независимо от предыстории. При больших амплитудах изменений курса гипотеза о независимости представляется сомнительной. Следовательно, некоторые сильные дневные изменения курса рассматриваемой валютной пары не являются независимыми. Для получения более точных результатов необходимо разбить выборку на большее количество частей.
    В основном, гипотеза о независимости величины дневного изменения курса валютной пары евро/швейцарский франк может быть принята. Зададимся вопросом: каково распределение этой случайной величины?
    Как было показано выше, частоты появления комбинаций UU, UD, DU и DD различаются незначительно - от 379 до 447. Это наводит на мысль о проверке гипотезы о биномиальном законе распределения знака величины ЖCi с параметром распределения p = 0,5, так как при этом вероятность появления каждой из указанных выше комбинаций составляет 0,25. В этом случае число накладываемых связей равно 2: к первому числу (сумма всех частостей равна объему выборки) добавляется параметр распределения - p = 0,5. Расчеты по критерию согласия хи-квадрат дают Kопытн= 5,79. Значения Kкрит при двух степенях свободы составляют 5,99 и 9,21 при уровнях значимости 0,05 и 0,01. Таким образом, имеем Kопытн" Kкрит, поэтому выдвинутую гипотезу можно принять. Необходимо отметить, что речь идет не о самом значении дневного изменения курса, а только о знаке или направлении этого изменения, т. е. о росте (не принимая во внимание саму величину этого роста) или падении курса за день.
    Если направление дневного изменения курса подчиняется биномиальному закону распределения с p = 0,5, то цепочки, составленные из нескольких последовательных направлений дневных изменений курса, подчиняются определенным закономерностям.
    Для примера рассмотрим изменение курса в течение 3 дней. При биномиальном законе распределения и р = 0,5 вероятность наблюдения комбинаций UUU (рост курса 3 дня подряд), UUD, UDU, UDD, DUU, DUD, DDU и DDD одинаковая и равна 1/8 (0,125). Результаты расчетов приведены в табл. 4.
    Критические значения при уровнях значимости 0,01 и 0,05 и 6 степенях свободы составляют соответственно 16,81 и 12,59. Таким образом, гипотеза о биномиальном распределении не отвергается.
    Нами проведены аналогичные расчеты для цепочек, состоящих из 4 и более (до 10) элементов. Гипотеза о биномиальном законе распределения и р = 0,5 принималась вплоть до цепочки, состоящей из 9 элементов. Это значит, что любые комбинации из 9 дневных изменений курса имеют приблизительно равные шансы на реализацию5.
    Что касается цепочки, включающей 10 элементов, то частота появления различных комбинаций была в основном меньше 5. При этом применение метода хи-квадрат приводит к большим ошибкам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Проведенный статистический анализ курса валютной пары "евро-швейцарский франк" позволяет сделать следующие выводы.
    Ряд, состоящий из значений курса, является нестационарным, т. е. зависящим от конкретного момента времени. Применение механических систем принятия решения по сделкам с данной валютной парой, основанных на величине курса, требует осторожности. Элементы ряда не являются независимыми: зависят от предыстории.
     Ряд, состоящий из значений дневных изменений курса, является стационарным. Следовательно, параметры распределения этого ряда практически не изменяются в течение длительных периодов времени. Это делает возможным применение систем принятия решения с постоянными параметрами. В то же время элементы этого ряда не зависят от предыстории, т. е. экстраполяция имеющихся данных на будущие периоды может приводить к серьезным ошибкам.
    Колебания курса в пределах до 25 пипсов являются независимыми. Изменения курса на 30 и более пипсов нельзя назвать независимыми. При этом используемые методы статистической проверки гипотез не дают ответа на вопрос, каков вид этой зависимости.
    Следует отметить, что полученные результаты нельзя произвольно распространять на другие параметры или комбинации параметров, тем более на параметры других валютных пар. В каждом отдельном случае необходима специальная проверка статистических гипотез о стационарности и независимости.
    В табл. 5 представлены данные проверки гипотезы о стационарности максимальных значений дня и нескольких других параметров, связанных с этим максимумом.
    Из представленных данных видно, что разность максимальных значений соседних рабочих дней представляет собой стационарную величину в период времени продолжительностью до 160 рабочих дней (1/10 от общей выборки). При разности максимальных значений дня через несколько дневных интервалов стационарность может наблюдаться только для очень больших периодов времени - 2 года и более.
    В отличие от разности соседних дневных максимумов, диапазон цен дня (разность максимального и минимального значений курса) - величина нестационарная.
    Проверим гипотезу о независимости некоторых параметров курса, связанных с максимальными значениями дня.
    Как следует из табл. 6, разность максимума дня и его открытия есть величина, независимая от истории. В то же время разность максимального и минимального значений дня не является независимой величиной.
    Следует отметить, что для получения результатов использовались методы непараметрической статистики, которые позволяют принимать или отвергать статистические гипотезы, но не дают количественных характеристик распределений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

    Sherry C. J. The Mathematics of Technical Analysis. Chicago, Cambridge, 1992.
    Браунли К. А. Статистическая теория и методология в науке и технике. М., 1977.





  • Рейтинг
  • 0
Добавить комментарий
Комментарии (3):
фендап
06.01.2010 11:39:28
что за хуйня написана?нахрен срете людям в мозги критины.тот пидор который это выложил сам хоть читал этот бред конченый????
Аноним
04.05.2010 19:10:22
Это не бред - это математика, а точнее один из разделов математической науки
фунт
07.08.2010 07:15:51
офигеть расклад!)0_о
Содержание (развернуть содержание)
Факты и комментарии
Пути взаимодействия ФСФР и СРО
РЦБ-CASUAL: премьера прошла успешно. Журнал "Рынок ценных бумаг" провел в Карелии первый неформальный выезд с друзьями и партнерами
Российский рынок акций: итоги первого полугодия и прогноз на вторую половину 2007 г.
Газпром: финансовые итоги 2006 г.
Инфраструктурная отрасль: на пороге бума
Оценка эффективности управления ОПИФ категории фондов акций
Структурированные продукты: что внутри?
Расчеты через трансъевропейскую автоматизированную экспресс-систему валовых расчетов в режиме реального времени TARGET1 / TARGET2
Карфаген должен быть разрушен
Потенциал ипотечного рынка России колоссален
Стандартизация ипотеки - основной залог качества ипотечных ценных бумаг
Законодательные аспекты секьюритизации
Секьюритизация доходов от коммерческой недвижимости
Закладная: понятие, практика применения и проблемы
Некоторые статистические закономерности динамики курса валютной пары "евро-швейцарский франк"
Автоматический графический анализ
Динамические ряды индексов - отражение тенденций мышления инвесторов

  • Статьи в открытом доступе
  • Статьи доступны на платной основе
Актуальные темы    
 Сергей Хестанов
Девальвация — горькое лекарство
Оптимальный курс национальной валюты четко связан со структурой экономики и приоритетами денежно-кредитной политики. Для нынешней российской экономики наиболее логичным (и реалистичным) решением бюджетных проблем является девальвация рубля.
Александр Баранов
Управление рисками НПФов с учетом новых требований Банка России
В III кв. 2016 г. вступили в силу новые требования Банка России по организации системы управления рисками негосударственных пенсионных фондов.
Варвара Артюшенко
Вместе мы — сила
Закон синергии гласит: «Целое больше, нежели сумма отдельных частей».
Сергей Майоров
Применение blockchain для развития биржевых технологий и сервисов
Распространение технологий blockchain и распределенного реестра за первоначальные пределы рынка криптовалют — одна из наиболее дискутируемых тем в современной финансовой индустрии.
Все публикации →
  • Rambler's Top100