Casual
РЦБ.RU

Опционное моделирование и управление рисками

Июль 2006

    Предметом данной статьи будут основные "три кита", на которых основано математическое моделирование опционных премий (формула Блека-Шоулса) и количественные оценки меры риска: параметризация распределения доходностей через нормальное распределение Гаусса (или логнормальное), введение среднеквадратичного отклонения от среднего s как универсальной характеристики системы и его последующая экстраполяция во временном горизонте по закону s ~ Гn, что предполагает классический случайный броуновский процесс.

ЧАСТОТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДНОСТЕЙ

    Рассмотрим частотное распределение доходностей (число случаев, попадающих в определенный интервал значений) акций РАО "ЕЭС России" с 1995 г. по настоящее время. Общий массив данных составил 2463 точки дневных цен закрытия.
    Для сравнения: на рис. 1 сплошной линией показано частотное распределение в случае нормального распределения, которое характеризуется понятием "средняя по массиву величина" - Xср и стандартным отклонением от среднего - s, которое и принято связывать с мерой риска. В интервале разброса от среднего Xср + 1s находится 68% точек (интервал 1s), интервалу 2s соответствует 95,4% всех точек, а интервалу 3s - 99,7%.
    Первое, что обращает на себя внимание, - флуктуации вокруг нулевого среднего более вероятны по сравнению с нормальным распределением (более острые вершины). Кроме того, отмечаются более длинные "хвосты" реальных распределений. Например, для однодневных доходностей частотное распределение в случае нормального распределения характеризуется Xср = 0,002, s = 0,05, и 99,7% случаев должно попадать в зону доходов/убытков 0,152, т. е. из общего массива в N = 2463 точек возможны в сумме только 7 случаев получения больших доходов или убытков.
    В действительности в положительной области таких случаев оказалось 23 (вместо ~ 4), т. е. в 6 раз больше, а в отрицательной - 12 случаев. Таким образом, 35 (23 + 12) случаев вместо положенных 7 произошли в зоне событий, вероятность которых не должна была превысить 0,3%. И что уже совсем невероятно, в интервале 8s, время ожидания появления которого в случае нормального распределения сравнимо с возрастом вселенной (т. е. попросту не должно быть), отмечалось 2 события (по одному в положительной и отрицательной областях) за 10 лет наблюдения. Поэтому не следует удивляться, если 1 раз в 5 лет ранее отлично показавший себя метод долгосрочных инвестиций вдруг неожиданно даст сбой. Это подтверждает и печальный опыт некоторых хедж-фондов, например LTCM. Аналогичная картина складывается и с 5-дневными доходностями. За пределами 99,7%-ной вероятности в положительной области оказалось 6 случаев вместо положенного 1 для нормального распределения с оценкой параметров Xср = 0,01, s = 0,1 и в отрицательной области - 3. В итоге произошло 9 (6 + 3) вместо 2 случаев, т. е. примерно в 4 раза больше. Мы провели такой же анализ месячных и квартальных доходностей. Во всех случаях критерий Колмогорова-Смирнова дал однозначный ответ: распределения не могут статистически достоверно характеризоваться понятиями среднего и средне-квадратичного отклонения от среднего. Не помогает и процедура логарифмирования Гауссовского распределения (логнормальное распределение): "хвосты" все равно могут оказаться длиннее. Кроме того, подобная процедура вообще не решает проблему более острых вершин.

ВНУТРЕННИЕ КОРРЕЛЯЦИИ СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ

    Рассмотрим такую характеристику нашего статистического ансамбля, как стандартное среднеквадратичное отклонение от среднего s (волатильность). Именно эту величину принято связывать напрямую с мерой риска, кроме того, она является определяющей и при расчете премий по опционам. Волатильность - аналог известного из статистической физики понятия скорости случайного процесса. В физике волатильность определяет расстояние, которое проходит броуновская частица за единицу времени (в данном случае это изменение цены актива за единицу времени). Ее принято считать постоянной величиной, "универсальной" характеристикой процесса. Это предположение в случае нашего процесса выглядит крайне спорным.
    На рис 2. представлен массив однодневного изменения цен акций РАО "ЕЭС России" с 1995 г. и 60 тыс. точек в одноминутном интервале. Отмечаются сильные внутренние корреляции (автокорреляции) стандартных отклонений как для дневного, так и для минутного интервалов.
    Проще говоря, если за последние несколько дней цены изменялись сильнее, чем обычно (высокие стандартные отклонения), то в последующие дни тенденция, скорее всего, сохранится - система обладает ярко выраженной "памятью", что ставит под угрозу само определение нашего процесса как случайного.
    При этом четко прослеживается граница N = 1000 точек наблюдения, после которых характер поведения системы качественно меняется: внутренние корреляции пропадают corr(s(t), s(0)) _ 0, процесс приобретает черты классического случайного. Взаимосвязи между s(N) и динамикой изменения цен P(0) не обнаружено - на российском фондовом рынке, как и в случае индекса Dow Jones, ростовые фигуры так же волатильны, как и падающие, а значит, потенциально столь же опасны. Отметим, что известное решение Колмогорова о точном прогнозировании случайного процесса в классе линейных функций, зависящих от исторических данных, позволяет бороться только с корреляциями типа corr(s(N), P(0)) и не способно решить проблему внутренних корреляций.

ПРИВЕДЕННАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ - ПРИЗРАК УНИВЕРСАЛЬНОСТИ

    Волатильность входит и в расчет теоретической премии по опционам, при этом она представляет собой универсальную константу в ценовом пространстве. Рассмотрим обратную задачу: какой волатильности соответствуют реально сложившиеся на рынке премии по опционам? Это так называемые приведенные волатильности (Implied Volatility). На рис. 3 представлены значения приведенной волатильности опционов пут и колл в периоды сильного движения рынков (соответственно, падения 24 ноября 2004 г. и роста 26 февраля 2006 г.), а для периодов накануне и после соответствующих движений - рис. 4.
    Накануне падения рынка 18 ноября 2004 г. приведенные волатильности опционов колл были завышены по сравнению с опционами пут (премии завышены), что может свидетельствовать об общем настрое на предстоящий рост. А перед ростом рынка 21 декабря 2005 г., наоборот, были более высокие премии по опционам пут по сравнению с колл, т. е. преобладали настроения на более вероятное движение вниз. В обоих случаях можно констатировать коллективную ошибку. Даже после того как рынок акций РАО "ЕЭС России" сформировал, казалось бы, очевидное для постороннего наблюдателя сильное трендовое падающее (24 ноября 2004 г.) или ростовое (26 февраля 2006 г.) движение, мы отказывались верить в происходящее, продолжая покупать на падающем рынке и продавать на растущем. И только после завершения падения 26 ноября 2004 г. пришло осознание того, что рынок действительно падает и пора покупать пут вне денег. Аналогично происходило и 23 марта 2006 г., после завершения фазы роста перекос в премиях в пользу продавцов был наконец ликвидирован и даже появились желающие покупать опционы колл - спустя месяц нас все-таки убедили.
    Признание факта непостоянства стандартных отклонений в ценовом пространстве вполне логично приводит к попытке подгонки функционалов типа s(x, t), s(x, t) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3T + a4T2 (и любой подобной комбинации) к эмпирическим данным. Все эти попытки до сих пор не привели к заметному усовершенствованию классического подхода Блека-Шоулса.
    Итак, фундаментальная проблема заключается не только в наличии внутренних корреляций, т. е. "памяти" в системе, которую по определению не учитывает модель Блека-Шоулса. Причина кроется еще и в психологии нашего собственного поведения, поэтому вряд ли следует апеллировать к математическим авторитетам. Скорее следует прислушаться к мнению Чарльза Маккея, который в 1841 г. опубликовал книгу "Наиболее распространенные заблуждения и безумства толпы", в которой утверждал: "Люди мыслят стадом. Стадом они сходят с ума, а в сознание приходят медленно и поодиночке".

ФОНДОВЫЙ РЫНОК - БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ?

    Возможно, мы просто имеем дело с системой, свойства которой принципиально отличны от общепринятых статистических представлений. Действительно, все началось еще в 1900 г., когда Луи Башелье защитил диссертацию на тему "Теория спекуляции", в которой дал математическое описание процесса формирования цен на французские государственные облигации. Он на 5 лет опередил работу Эйнштейна-Смолуховского по теории броуновского движения, сделавшую авторов всемирно знаменитыми. На центральной идее Башелье ("Для спекулянта математическое ожидание равно нулю") основаны современные стратегии торговли, теории производных финансовых инструментов и самые изощренные техники управления портфелями ценных бумаг. Коротко напомним, о чем идет речь.
    Роберт Броун, английский ботаник, обнаружил в 1828 г., что при помещении маленьких твердых частиц размером приблизительно 10-4 см в каплю жидкости происходит их хаотичное постоянное движение в разных направлениях. В 1905 г. Эйнштейн объяснил броуновское движение случайными флуктуациями, возникающими в состоянии равновесия. Количество взаимодействий с твердыми частицами за единицу времени незначительно, и соответствующие флуктуации велики. Основные свойства подобной системы следующие:
    1. Система, находящаяся в состоянии равновесия, всегда может быть описана несколькими макропараметрами, средние значения которых остаются постоянными во времени, но сами параметры могут флуктуировать относительно своих средних.
    2. Равновесное макросостояние системы не зависит от ее предыстории. Например, если убрать перегородку, запирающую газ, в половине ящика или в одной его трети, то в обоих случаях получим одинаковое состояние равновесия.
    Согласно Эйнштейну (1905 г.), путь, проходимый броуновской частицей, изменяется по закону Гt в зависимости от времени наблюдения за ней. Стандартные отклонения ценовых колебаний по аналогии "масштабируются" по закону ГN, где N - число наблюдений. Оценим возможность применения понятий изолированной, равновесной системы для фондового рынка.
    На рис. 5 показана зависимость логарифма стандартного отклонения дневного изменения цен как функция логарифма числа точек наблюдения, представленная в сравнении для индекса Dow Jones, индекса РТС, акций РАО "ЕЭС России", акций ЛУКОЙЛа и акций компании "Боинг" за 10 лет - с 1995 г. по настоящее время. Результаты получены путем случайного деления всего массива данных на случайные подинтервалы с помощью генератора случайных чисел. Для полученных таким образом наборов данных случайной длины рассчитывались соответствующие доходности и стандартные отклонения.
    В том случае если бы исследуемый процесс отвечал классическому случайному процессу, то мы бы получили прямую линию под углом 45о по закону lg s ~ 1/2 lg N. Соответствующая линия показана пунктиром для индекса РТС и акций РАО "ЕЭС России". В реальности углы наклона оказались существенно меньшими. Для индекса Dow Jones lg s ~ 0,23 lg N, для индекса РТС lg s ~ 0,11 lg N, для акций РАО "ЕЭС России" и "Боинг" lg s ~ 0,13 lg N. Это так называемое "фрактальное" броуновское движение, на которое применительно к фондовому рынку обратил внимание известный ученый Эдгар Петерс. Временами величина отклонения столь велика, что разговор о возможности введения единой линейной зависимости для всего рассматриваемого интервала просто теряет смысл: риск может быть как большим, так и меньшим по сравнению с общепринятыми представлениями. Формально индекс РТС имеет меньший риск, чем индекс Dow Jones, так как обладает меньшим углом наклона.
    При анализе акций РАО "ЕЭС России" вместо классического движения s ~ N0,5 мы обнаружили траектории фрактального движения, отличающиеся не просто меньшим углом наклона (s ~ N0,5 для 60 мин. и 15 мин. интервалов), но и таким аномальным поведением для 1 мин. интервала, как закон s ~ N-0,06. Если считать, что риск обратно пропорционален значению s, то это эквивалентно уменьшению риска в 5 и 13 раз соответственно. Подобные зоны аномально низкого риска соответствуют сильным трендовым движениям, при этом предполагается, что вы следуете за рынком, т. е. продаете на падающем и покупаете на растущем рынке. Однако, как мы видели на примере рис. 3, на деле нередко случается прямо противоположное. Отметим и один совершенно очевидный путь приближения к действительности классической формулы Блэка-Шоулса - введение другой степенной зависимости от N.
    На рассмотренных выше предположениях основаны и такие количественные оценки потенциальных рисков, как VaR (Value at Risk). Ярким примером, к чему это может привести в реальной жизни, является крах в 1998 г. фонда LTCM (Long Term Capital Management), что даже потребовало финансовых вливаний Федерального резервного банка в размере 3,8 млрд долл. для предотвращения потрясений на мировых финансовых рынках. При этом фонд LTCM регулярно публиковал наукообразные отчеты на основании рекомендаций Базельского комитета по расчетам допустимых уровней рисков в рамках доверительных интервалов VaR. Согласно методике VaR максимально возможные ежедневные потери фонда LTCM с 99%-ной вероятностью не могли превышать 105 млн долл., что при экстраполяции на месяц по закону составляет 480 млн долл. Однако в июле 1998 г. потери превысили расчетную цифру: только за 21 августа 1998 г. потери составили 550 млн долл., а за весь месяц - 1,7 млрд долл. В предположении гауссовского распределения вероятность подобного события не превышает 8,3s, т. е. сравнимо с возрастом Вселенной.
    Абстрактные математические построения имеют весьма условное отношение к исследуемому предмету, главное - искусство их применения в соответствии с жизненными обстоятельствами с целью извлечения практических выгод. Распределение, названное впоследствии его именем, было изобретено Гауссом как способ избежать нудной (но хорошо оплачиваемой) серии геодезических измерений - он не любил выходить из дома и общаться с чиновниками. Он утверждал, что распределение ошибок при измерении независимых, случайных величин подчиняется вполне определенному закону, и поэтому достаточно по некоторой выборке определить среднее и среднеквадратичное отклонение от среднего, которые затем можно экстраполировать на весь массив. Конечно, он и не предполагал возможность использования подобного распределения для описания временной эволюции стохастического процесса со сложными внутренними взаимосвязями.
    Такой же практической хваткой отличался и Лаплас - основатель таких современных методов оценки риска, как VaR. Если в 1812 г. первое издание "Аналитической теории вероятности" он посвятил "Великому Наполеону", то во втором издании 1814 г. он уверенно утверждал: "Падение империй, стремившихся к господству над миром, с очень высокой степенью вероятности мог предсказать каждый сведущий в вычислении шансов". В результате Лаплас после реставрации монархии во Франции стал весьма состоятельным маркизом.
    Оценим потенциальные риски игроков в рамках соотношения Шарпа "доходность/стандартное отклонение". Результаты, представленные на рис. 6, 7 (чем больше соотношение Шарпа, тем меньше риск), кажутся парадоксальными. В первые 10 дней отмечаются меньшие риски по сравнению с подходом Башелье, основанным на распределении Гаусса. В течение последующих 100 дней риски резко увеличиваются, а затем снова снижаются.
    Многое проясняет анализ периода сильного трендового падения рынка за период с 10 по 16 мая 2006 г. в коротком интервале (1 мин.). Сравним двух игроков.
    Один спекулянт, руководствуясь теорией схождения к среднему ("для спекулянта математическое ожидание равно нулю"), совершает разнонаправленные движения по траектории случайного блуждания. Такой клиент - мечта брокера. Великий пахарь фондового рынка, он извлекает сиюминутную прибыль из огромного числа сделок, не утруждая себя и окружающих знаниями фундаментального и технического анализа. Другой спекулянт, стратег, считает, что ему дано знание о судьбах фондового рынка, т. е. о завтрашних ценах, он принимает решение продавать всегда и по любым ценам. Мудрость рынка в том и состоит, что оба могут доказать свою правоту, а значит, и продолжить свою бесконечную взаимную полемику. До уровня 500-700 точек наблюдения (500 точек - 1 торговый день) первый участник сталкивается с меньшими рисками, чем второй. Затем присутствие в системе сильного трендового движения дает о себе знать, и тот, кто продает на падающем рынке (или покупает на растущем), получает меньшие риски, чем предсказывает любая из современных теорий оценки рисков. Но познать радость успеха дано только тому, кто наделен искусством терпения: вход в рынок может сопровождаться болезненными ощущениями в первые 500 точек наблюдения, а если через 1000 точек наблюдения торговое решение ничего не приносит, кроме терпения, вас освещает мудрость признания ошибки.

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ

    Фондовая биржа - слишком дорогой способ проверки выполнимости произвольных предположений теории случайного равновесного процесса, и вера в математические принципы опционных калькуляторов может быть совершенно не связана с состоянием вашего торгового счета. Видимо, ближе всех к пониманию современных проблем математических методов управления рисками был Джон Локк, который в конце XVII в. утверждал, что мы вынуждены довольствоваться только полумраком вероятности, соответствующим уготованному нам состоянию испытуемой посредственности.

  • Рейтинг
  • 0
Добавить комментарий
Комментарии (1):
Saurav
02.09.2015 14:43:11
Thanks for your thotghus. It's helped me a lot.
Содержание (развернуть содержание)
Факты и комментарии
"Зеленый коридор" для бондов
Качественное развитие рынка рублевого долга
Рублевое будущее
Старый рубль на новый лад
Какой анализ выбрать - фундаментальный или технический?
Финансовые итоги Газпрома
Идентификация фрактальных закономерностей на рынке акций
Анализ сберегательного поведения населения и его лояльности к рынку ценных бумаг
Поволжье как субьект Федерации с эффективной и прозрачной финансовой системой
Спекулятивный интерес
Нефтяные фьючерсы в России и в мире
Коррекция фондового рынка отбросила рынок опционов на год назад
Опционное моделирование и управление рисками
Российские коллективные инвестиции: перспективно и дорого
Обучение на рынке ценных бумаг - наша профессия
Банковский сектор Киргизии
Производители каучуков: страховка от колебаний цен на нефть
Развитие первичного рынка ипотечного кредитования в России
Каким категориям ценных бумаг угрожает закон о принудительном выкупе
Проблемы холдингового законодательства
Необходимо дальнейшее обсуждение
Структуры собственности и управления Центральным депозитарием

  • Статьи в открытом доступе
  • Статьи доступны на платной основе
Актуальные темы    
 Сергей Хестанов
Девальвация — горькое лекарство
Оптимальный курс национальной валюты четко связан со структурой экономики и приоритетами денежно-кредитной политики. Для нынешней российской экономики наиболее логичным (и реалистичным) решением бюджетных проблем является девальвация рубля.
Александр Баранов
Управление рисками НПФов с учетом новых требований Банка России
В III кв. 2016 г. вступили в силу новые требования Банка России по организации системы управления рисками негосударственных пенсионных фондов.
Варвара Артюшенко
Вместе мы — сила
Закон синергии гласит: «Целое больше, нежели сумма отдельных частей».
Сергей Майоров
Применение blockchain для развития биржевых технологий и сервисов
Распространение технологий blockchain и распределенного реестра за первоначальные пределы рынка криптовалют — одна из наиболее дискутируемых тем в современной финансовой индустрии.
Все публикации →
  • Rambler's Top100