Casual
РЦБ.RU

Применимость кривых доходности

Октябрь 2005


    Понятие кривой доходности, безусловно, является одним из наиболее важных в области долговых инструментов не только в теоретическом, но и в прикладном плане, поскольку часто применяется для решения широкого круга задач. При этом существует несколько типов кривых, наиболее известной среди которых является бескупонная кривая, представляющая собой универсальное средство ценообразования инструментов с фиксированной доходностью. В статье рассматривается базовая классификация таких типов и делается попытка первичного анализа ограничений на сферу их практического использования1.

ЦАРИЦА ЦЕНА

    Настоящий анализ различных видов кривых доходности проводится на базе сравнимых кривых. Очевидно, что не представляет практической пользы прямое сравнение кривых доходности американских казначейских облигаций и облигаций Москвы. Предполагается, что рассматриваемые кривые отвечают следующим требованиям:

  • множество рассматриваемых инструментов должно быть единого кредитного качества, т. е. для целей построения кривых и последующего определения с их помощью цены должны использоваться инструменты с заданным уровнем риска;
  • кривые должны представлять доходности в одной и той же валюте.
        Следующий принцип - эквивалентность заложенного в кривых ценообразования. Действительно, прямое назначение кривых доходности состоит в возможности использования их для определения цены некоторого применимого множества долговых инструментов (с указанными оговорками), и поэтому для любого из таких инструментов полученная цена не должна зависеть от примененного типа кривой.
        Эквивалентность ценообразования требует соблюдения условия фундаментальной эффективности рынка, при котором цены на долговые инструменты определены однозначно и равны сумме стоимостей составляющих их (реплицирующих) денежных потоков того же кредитного качества. Для практических целей допускаются небольшие ценовые отклонения, но они должны быть достаточно малыми, чтобы исключить возможность извлечения прибыли из-за различных инфраструктурных ограничений (транзакционных издержек, невозможности коротких продаж и т. д.). Возможность репликации любого инструмента комбинацией прочих инструментов является стандартным требованием для такого рода рассмотрений, однако оно достаточно жесткое для текущего состояния российского долгового рынка, для которого остро стоит проблема <дефицита> ценных бумаг определенного кредитного качества. Это самым непосредственным образом затрудняет задачу построения кривых доходности.
        Вследствие указанных ограничений для любого данного состояния рынка мы можем наблюдать только одну кривую заданного типа. В противном случае легко привести пример инструмента, который в один и тот же момент времени будет иметь более одной возможной стоимости.

    ТРИ СЕСТРЫ

        Формирование различных типов кривых будет произведено на основании методики их построения. Поскольку кривая доходности - это график, задающий временную структуру доходностей, выделим наиболее значимые возможности в определении как сроков, так и доходностей.
        В отношении первых, помимо срока обращения каждой облигации можно поставить в соответствие ее дюрацию. Дюрация является более информативным параметром обращения облигаций для активных (профессиональных) участников рынка, которые на постоянной основе реинвестируют полученные средства, поскольку представляет собой усредненное значение горизонта их инвестирования при заданном уровне наращения стоимости. Дополнительно дюрация широко используется для определения чувствительности цены к изменению процентных ставок.
        Таким образом, первое разделение кривых возможно на построенные по а) дюрации и б) сроку обращения облигаций.
        Что касается доходности, то существует множество методов ее расчета, но мы ограничимся рассмотрением только одного наиболее важного случая - сложной (так называемой эффективной) доходности в годовом исчислении, рассчитанной к дате погашения инструмента. Как мы увидим дальше, профиль доходности зависит от структуры используемых для построения инструментов. В общем, множество рассматриваемых нами инструментов ограничено очень широким классом облигаций с постоянным фиксированным купоном, выплачиваемым через равные промежутки времени. Мы не исключаем бескупонные (или дисконтные) облигации, аннуитеты (обязательства без тела долга), а также амортизируемые облигации. Рассматриваемые виды облигаций представляют собой абсолютное большинство обращающихся на российском рынке долговых инструментов.
        Из всего этого числа инструментов беспроцентные облигации выделены в отдельную группу, чтобы использовать построенные на их основании бескупонные кривые в качестве отправной точки нашего анализа.
        Для упрощения все остальные облигации объединены в один класс, поскольку дальнейшее рассмотрение покажет, что принципиального отличия аннуитетных кривых от купонных нет. Отдельное внимание уделено аннуитетам, являющимся с точки зрения структуры антиподом бескупонных облигаций (первые состоят только из купонных выплат, последние - только из основной суммы долга), а также амортизируемым облигациям, структура которых предполагает скачкообразное увеличение (!) дюрации при наступлении очередной выплаты основного долга. Аннутеты являются базовым элементом построения свопов и в этом качестве важны с практической точки зрения.
        Итак, принимая во внимание двойственность как сроков, так и типов облигаций для целей построения кривых доходности, а также тот факт, что для бескупонных облигаций срок обращения совпадает с дюрацией, получаем следующие типы кривых:

  • тип 1: кривая доходности процентных облигаций относительно дюрации;
  • тип 2: кривая доходности процентных облигаций относительно срока обращения;
  • тип 3: кривая доходности бескупонных облигаций относительно срока обращения (либо дюрации, что эквивалентно).
        Бескупонная кривая является виртуальной кривой в том смысле, что (если не говорить об облигациях со сроком обращения менее 1 года и стрипах, являющихся производными от процентных облигаций) бескупонные облигации на рынке не обращаются и, соответственно, в чистом виде мы не можем наблюдать их стоимостей, а значит, и доходностей. В то же время, получив стоимость бескупонных облигаций, мы можем затем из них, как из кирпичиков, построить любые другие долговые инструменты с соответствующим определением стоимости.
        Несмотря на отнесение процентных облигаций и аннуитетов к одному типу, для лучшей демонстрации указанной зависимости формы кривой доходности от ставки купона как одного из параметров структуры облигации, приведены примеры графиков для наиболее репрезентативных ставок, а также для аннуитетов.

    КТО ПРЕКРАСНЕЙ И МИЛЕЕ?

        Представим схематично порядок расчетов, требуемых для построения кривых указанных типов (рис. 1).


        Самой простой задачей с точки зрения трудозатрат является построение кривой типа 2, поскольку очевидно, что расчет доходностей процентных облигаций значительно проще расчета стоимости бескупонных облигаций. Помимо трудозатрат, <плюсы> и <минусы> каждого типа кривых складываются из степени применимости соответствующей кривой. Начнем с <плюсов>.
        Замечание 1: тип 1 не требует использования сложных теорий построения кривой, достаточно применения сглаживающих методов построения на основании наблюдаемых дюраций и доходностей. Данная задача сглаживания может быть решена использованием сплайнов, что является весьма отработанной технологией2.
        Замечание 2: тип 1 частично отражает сложную структуру с точностью до средневзвешенного срока обязательств. Это не решает всех проблем отражения структуры инструментов в случае применения кривых типа 1, однако является существенным <плюсом> по сравнению с кривыми типа 2.
        Замечание 3: тип 3 универсально применим к любым инструментам (точнее, денежным потокам) данного кредитного качества. В то время как в случае кривых типа 1 и 2 к денежным потокам рассматриваемого инструмента применяется одна и та же ставка (доходность к погашению), использование кривой типа 3 предусматривает индивидуальное дисконтирование потоков. Такие дополнительные трудозатраты позволяют, однако, применять бескупонные кривые универсально, т. е. в отношении любых инструментов.

    НЕ ИЩИ СОРИНКУ...

        Критика типов кривых более объемна:
        Замечание 4: тип 1 - необходимость одновременного расчета доходности и дюрации облигаций. Попробуем формализовать алгоритм определения цены по кривым типа 1:

  • расcчитаем дюрацию инструмента;
  • определим доходность к погашению инструмента по дюрации инструмента на основании заданной кривой доходности;
  • определим цену инструмента с помощью дисконтирования денежных потоков по ставке доходности к погашению и суммирования результатов.
        Первый шаг этой процедуры уже содержит логическое противоречие: для определения доходности требуется дюрация, которая сама рассчитывается дисконтированием по ставке доходности! Такого рода задача решается итерационными методами, с постепенным приближением к точному решению, однако из-за частого отсутствия аналитического представления формы кривой доходности решение не может быть найдено с абсолютно низкой погрешностью. На практике доходность по кривым типа 1 определяется приблизительно, фактически по произвольно взятому приближению дюрации. Несмотря на внешнюю безобидность, это обстоятельство может создать большие неприятности при попытке автоматизации процесса ценообразования, особенно в рамках оценки сложных производных инструментов.
        Замечание 5: тип 1 - форма кривой меняется в зависимости от структуры инструмента, в том числе от купонной ставки и структуры погашения. Данный феномен лучше всего демонстрируется графически: на рис. 2 изображено семейство кривых, соответствующих различным купонным ставкам, в случае обычного возрастающего профиля кривой доходности. В качестве опорных точек использовались данные по ценам облигаций Москвы, которые на данный момент являются основным поставщиком базовых доходностей рублевого рынка облигаций. Рисунок наглядно показывает, что купонные кривые находятся внутри коридора, сформированного бескупонной кривой и кривой, построенной для аннуитетов, что еще раз подчеркивает структурную противоположность аннуитетов и дисконтных облигаций.

        Данный результат выглядит парадоксально, поскольку инструменты заданного кредитного качества ассоциируются с вполне определенной доходностью. В действительности структура денежных потоков может вносить некоторые корректировки в расчетный уровень доходности.
        Для построения семейства кривых (как уже указывалось, описывающих доходности инструментов заданного кредитного качества) была задана бескупонная кривая, на основании которой затем производилась оценка облигаций с заданным купоном (а также для аннуитетов) для всего спектра сроков обращения, с использованием соответствующих доходностей для построения графиков. Все наши примеры используют только две бескупонные кривые: А и В.
        Замечание 6: тип 1 - применение кривой к инструменту иной структуры требует корректировки уровня доходности. Вариация формы кривой в зависимости от купонной ставки подразумевает ограниченность применения каждой отдельной кривой только для ценообразования инструментов с той же самой ставкой купона.
        Как видно из рис. 2, для нормальной возрастающей бескупонной кривой А погрешность в определении доходности аннуитета при ошибочном использовании бескупонной кривой как источника доходности к погашению может составлять до 25 б. п. При применении к аннуитетам доходности к погашению облигаций с 15%-ным купоном такая ошибка достигает 12 б. п. (для дюрации 4-5 лет). Максимум расхождения доходностей к погашению для облигаций с купонной ставкой 7-15% годовых составляет около 4 б. п. На усмотрение читателя остается оценка материальности такого расхождения (что, безусловно, требует сопоставления со спрэдом между ценами спроса и предложения). Однако важно отметить, что данные расхождения не обусловлены никакими различиями в кредитном качестве бумаг - это исключительно систематическая техническая ошибка, распространяемая на все рассматриваемые инструменты заданной структуры.
        В целом погрешность возрастает в зонах <перелома> кривой доходности (среднесрочные ставки) и напрямую зависит также от профиля кривой. Так, для кривых с <горбом> (рис. 3, верхнее семейство кривых, построенное на базе бескупонной кривой В3) области относительно высокой разницы в уровнях доходности кривых с различным купоном смещены в зону высокой дюрации - погрешность, связанная с применением неправильной кривой, может составить более 20 б. п. Такие погрешности являются непосредственной функцией формы кривой, которая в свою очередь определяется степенью волатильности рынка и соотношением между краткосрочными и долгосрочными ставками.
        Замечание 7: тип 1 - кривые для амортизируемых облигаций имеют точки разрыва из-за скачкообразного изменения дюрации. Особенно осторожно использовать кривые типа 1 следует при работе с амортизируемыми облигациями. Из-за скачкообразного изменения дюрации данных инструментов в моменты времени, непосредственно предшествующие выплате амортизационной суммы, ошибка применения таких кривых может достигать 50-60 б. п. (рис. 3, нижнее семейство кривых, построенное на базе бескупонной кривой А; купонные кривые соответствуют купонной ставке 7,5% годовых), если игнорируется влияние амортизации на форму кривой. Ошибка тем сильнее, чем больший вес имеет амортизационная выплата в структуре долга.
        Необходимо отметить, что проблема скачков в дюрации наблюдается и для неамортизационной облигации - это происходит всякий раз при выплате купона. Для придания графикам вида непрерывной структуры первый купон облигации мы уменьшили на сумму НКД. Использование обычного расчета дюрации генерирует увеличивающееся отклонение сроков в меньшую сторону, что приводит к потенциальному занижению доходности, определяемой по сглаженному профилю кривой, что особенно заметно при сильном наклоне кривой.
        Замечание 8: тип 2 - уровень доходности требует большей корректировки при ценообразовании стандартной облигации, чем в случае кривых типа 1.
        Кривые типа 2 порождают еще более существенную разницу в уровнях доходности при заданном периоде обращения. Хотя рис. 4 отличается от рис. 2 только заменой по временной оси дюрации на срок обращения, разница в уровнях доходности существенно возросла, особенно на длинном конце кривой. Таким образом, следует избегать ценообразования инструментов с длительным сроком обращения по кривым типа 2, если оцениваемый инструмент имеет купонную ставку, отличную от заложенной в кривой. Для инструментов со структурой аннуитета такое ценообразование представляется недопустимым в принципе, поскольку порождает слишком большую ошибку для любого срока обращения свыше 1 года.

        В случае нормального растущего профиля бескупонной кривой ставки купонных кривых типа 2 будут всегда снижаться с ростом купона. Действительно, для получения единой цены купонной облигации при дисконтировании ее денежных потоков, с одной стороны, по индивидуальным возрастающим ставкам бескупонной кривой и по доходности к погашению, с другой стороны, последняя должна быть ниже бескупонной ставки, соответствующей сроку погашения.
        Кривые типа 2, соответствующие бескупонной кривой В с <горбом> либо с плоской структурой долгосрочных ставок, имеют некоторую специфику: в длинной части кривой существует точка пересечения всех кривых (точка фокуса), в которой можно применять кривую с любой купонной ставкой (рис. 5, верхнее семейство кривых). Тем не менее, в отличие от кривой типа 1, для среднесрочных ставок существует значительно больший разброс доходностей для разных купонов, и при прочих равных применение кривых типа 2 априори порождает большую ошибку.
        Замечание 9: тип 2 - кривая не применима к инструментам с любой сложной структурой выплат, поскольку не использует усреднение по весу денежных потоков. По определению кривые типа 2 применяются только к стандартным неамортизируемым облигациям, при этом они явно проигрывают кривым типа 1. Не спасает принципиально ситуацию применение кривых типа 2 к амортизируемым облигациям в период, непосредственно предшествующий амортизационной выплате, - самому слабому месту в применении кривых типа 1. Хотя их ошибка и меньше, чем для кривых типа 1, присутствует высокая чувствительность к заложенной в кривой доле амортизации; разница вполне может составлять 20 б. п.

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Рассмотренные примеры показывают ограниченность применения кривых типов 1 и 2. С одной стороны, для облигаций сравнимого кредитного качества характерен приблизительно одинаковый купон, что минимизирует ошибки. С другой стороны, облигации Газпрома (с купоном значительно ниже 10% годовых) традиционно оцениваются по кривой Москвы (ставка купона от 10 до 15% годовых), и количество таких примеров достаточно велико.
        Альтернативно, пусть и ценой применения индивидуальных ставок дисконтирования, все инструменты могут быть оценены с использованием бескупонной кривой. Так почему не использовать ее постоянно? Принципиальный ответ содержится в следующем замечании.
        Замечание 10: тип 3 (бескупонная кривая) - для построения требуется нетривиальный математический аппарат. При том что бескупонная кривая является наиболее удобным инструментом для ценообразования, процесс ее построения требует существенных затрат и даже разработки концепции ценообразования, поскольку входные данные по ценам процентных облигаций не позволят однозначно построить бескупонную кривую - требуется по меньшей мере статистическая проверка модели. Когда вопрос оперативности оценки является приоритетным, применяется более простой подход с использованием кривых типа 1 (либо типа 2).
        Вопрос технологии построения бескупонной кривой является, пожалуй, наиболее фундаментальным в области инструментов с фиксированной доходностью. Поскольку даже краткое его рассмотрение требует объема, превышающего объем данной статьи, мы оставляем его за скобками нашего обсуждения и рекомендуем читателю обратиться к специальной литературе по данной тематике4.

        Примечание
        1 Некоторые аспекты представленного анализа наиболее близки к материалу, изложенному в ст. Tuckman B. Fixed Income Securities: Tools for Today's Markets, 2002.
        2 Исчерпывающий обзор всего множества применимых методов см.: Гамбаров Г., Шевчук. И. Оценка срочной структуры процентных ставок // РЦБ. 2004. № 11. С. 43-50; № 13. С. 44-50.
        3 В отличие от бескупонной кривой А, кривая В не основана на рыночных данных и построена исключительно для иллюстрации альтернативной формы кривой.
        4 Например, Fabozzi F. Interest rate, term structure, and valuation modeling. New Jersey, John Wiley and Sons, Inc., 2002.

    • Рейтинг
    • 0
    Оставить комментарий
    Добавить комментарий анонимно, введите имя:

    Введите код с картинки:
    Добавить комментарий как авторизованный посетитель: Войти в систему

    Содержание (развернуть содержание)
    Факты и комментарии
    Один день с Анной Поповой
    Осенний урожай на рынке долгов
    Негосударственные рублевые облигации. Жаркое лето - когда похолодание?
    Высокодоходные облигации строительной отрасли
    Нельзя "легко" тратить "легкие" деньги
    Маршрут длиной в 10 лет: Лондон-Токио-Северный полюс...
    Специфика управления активами открытого паевого инвестиционного фонда
    Потребление нефти как болезнь
    Долговая нагрузка Газпрома
    Рыночные долговые инструменты ОАО "Газпром"
    Инвестирование в облигации: теория и практика
    Применимость кривых доходности
    Модель "Бостонской матрицы" для оценки привлекательности инвестиций в экономику Удмуртии
    Электронный архив как эффективный инструмент развития оценочного бизнеса
    Финансово-правовая природа опционного договора
    Стратегия конкуренции
    О некоторых вопросах правового регулирования деятельности специализированных депозитариев
    Электронный документооборот: технологическое развитие рынка коллективных инвестиций
    Преодоление монополизма институтов инфраструктуры финансового рынка и развитие их тарифной политики
    Новости законодательства, Группы ММВБ, МАБ СНГ, World News
    Российский фондовый рынок: свежий ветер перемен
    Междилерское РЕПО как наиболее динамично развивающийся сегмент денежного рынка
    Становление и развитие организованного межбанковского рынка востребовано временем
    Депозиты и ломбардные кредиты Банка России на ММВБ
    Рынок межбанковского кредитования на ММВБ - новый этап развития российского денежного рынка
    Тенденции рынка ГЦБ
    Повышение ликвидности рынка госдолга - насущная необходимость

    • Статьи в открытом доступе
    • Статьи доступны на платной основе
    Актуальные темы    
     Сергей Хестанов
    Девальвация — горькое лекарство
    Оптимальный курс национальной валюты четко связан со структурой экономики и приоритетами денежно-кредитной политики. Для нынешней российской экономики наиболее логичным (и реалистичным) решением бюджетных проблем является девальвация рубля.
    Александр Баранов
    Управление рисками НПФов с учетом новых требований Банка России
    В III кв. 2016 г. вступили в силу новые требования Банка России по организации системы управления рисками негосударственных пенсионных фондов.
    Варвара Артюшенко
    Вместе мы — сила
    Закон синергии гласит: «Целое больше, нежели сумма отдельных частей».
    Сергей Майоров
    Применение blockchain для развития биржевых технологий и сервисов
    Распространение технологий blockchain и распределенного реестра за первоначальные пределы рынка криптовалют — одна из наиболее дискутируемых тем в современной финансовой индустрии.
    Все публикации →
    • Rambler's Top100