Casual
РЦБ.RU

Исследование математической модели фьючерсных рынков

Май 2005

Полный вариант статьи с формулами и графиками смотри в PDF варианте.


    В предыдущей публикации1 авторами была предложена модель динамики фьючерсных рынков, одним из достоинств которой является получение прогностических реализаций экономических характеристик с учетом их взаимного влияния. В данной статье на основе анализа решений системы дифференциальных уравнений модели и выделения трендовой и хаотической составляющих предлагается методика определения моментов смены направления тренда, повышающая эффективность прогноза.

    В настоящее время интенсивно разрабатываются методы детерминированного хаоса при моделировании экономических процессов [3].
    Одним из наиболее перспективных направлений применения этих методов является исследование в области прогнозирования динамики рыночных характеристик.
    Для развития этой модели и раскрытия ее потенциальных возможностей и преимуществ в описании и прогнозировании рыночных характеристик необходимо провести математические исследования основной системы нелинейных дифференциальных уравнений модели.
    Также необходимо определить ее особенности и выявить их связь с закономерностями экономических характеристик.
    Это позволит определить структуру ошибки экономического прогноза, а также провести исследование в направлении поиска наиболее эффективных схем адаптации модели.
    В данной работе на основе анализа решений системы дифференциальных уравнений модели и выделения трендовой и хаотической составляющих предлагается методика определения моментов смены направления тренда, улучшающая эффективность прогноза.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ

    В модели фьючерсных рынков биржевая информация рассматривается в виде детерминированного хаоса, т. е. хаотическое изменение параметров является нерегулярным (хаотическим), порождаемым нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию на выбранном временном интервале

    (/ R << 1),
    где - соответствующая торговая сессия, R - длина исследуемого временного ряда при известной предыстории [2].
    При этом основные уравнения модели фьючерсных рынков в матричной форме имеют вид [3]:

    (1)
    где в качестве параметров системы выступают цена (X1), объем торгов (X2) и <открытый интерес> (X3). Взаимосвязь параметров отражена в перекрестных произведениях [1]. Коэффициенты () определяют степень влияния составляющих модели.

    Для более детального исследования представленной модели рынка, основанной на системе нелинейных дифференциальных уравнений, используем методы качественной теории дифференциальных уравнений. Сначала найдем точки равновесия системы, а затем рассмотрим движение системы вблизи каждого положения равновесия. Известно, что для системы дифференциальных уравнений первого порядка точки равновесия определяются равенством

    или , (2)
    где - вектор состояния системы.

    Для выяснения характера поведения решения вблизи точек равновесия разложим функциюв ряды Тейлора вблизи каждой точки равновесия и рассмотрим линеаризованные задачи. Характер движения вблизи каждой из точек равновесия можно определить с помощью собственных чисел характеристического полинома. Устойчивость решения линеаризованной системы определяем знаком действительной части : когда действительная часть хотя бы одного из чисел положительна, движение вблизи этой точки равновесия неустойчиво [4].
    Уравнения (2), описывающие положение равновесия для модели фьючерсных рынков (1), имеют вид:
    Решениями этой системы уравнений является 5 точек равновесия в каждый момент времени:

    - тривиальное решение,
    где () - коэффициенты модели на рассматриваемом временном интервале.

    Для установления характера точек равновесия и нахождения собственных чиселсоставим характеристическое равнение по коэффициентам линеаризованной системы уравнений (1):

    ,
    где B - матрица коэффициентов соответствующей линеаризованной системы в точке равновесия; E - единичная матрица.

    Для представленной модели характеристический полином имеет вид:
    Анализ уравнения (3) на основе численных экспериментов показал, что в области существования реальных параметров все 5 точек равновесия модели являются неустойчивыми. Действительная часть хотя бы одного из чиселявляется положительной. Это подтверждает тот факт, что финансовые рынки носят неустойчивый характер, т. е. подвержены внешним случайным воздействиям, следовательно, долгосрочные прогнозы являются менее надежными и значительные преимущества имеют краткосрочные прогнозы.
    Сравним траектории особых точек (точек равновесия) с поведением экономических характеристик. При этом неинформативные решения, к которым относятся тривиальное решение (O1) для всех параметров системы, а также решение, в котором координата, соответствующая параметру, принимает нулевое значение, будем отбрасывать. (Для цены - это O2, для объема - O3, для <открытого интереса> - O4.)
    Реальные траектории параметров финансовых рынков приведены на рис. 1. Данные нормированы. Восстановленные значения особых точек (точек равновесия соответствующей линеаризованной системы) расположены на рис. 2. Тип положения равновесия для цены - O3, для объема торгов - O4, для <открытого интереса> - O5.
    Поскольку случайные воздействия на реальные экономические характеристики имеют сильное влияние, то траектории изменения параметров финансовых рынков достаточно изломаны. Это мешает определению корреляции между траекториями особых точек и реальными траекториями биржевой информации. Поэтому имеет смысл провести корреляцию траекторий особых точек со сглаженными экономическими характеристиками.

ВЫДЕЛЕНИЕ ТРЕНДОВЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

    Из курса физики известно, что если на систему не воздействуют внешние силы, то она колеблется со своей частотой, определяемой характеристиками системы. Похожая ситуация складывается и на финансовых рынках. Если на формирование параметров не влияют какие-либо внешние факторы, то параметры начинают колебаться с некоторой частотой, определяемой внутренними законами рынка. Иногда такая частота обусловлена насыщением потребностей к концу месяца, а иногда сезонные колебания определяют масштабы изменения. В любом случае внешние не достаточно сильные воздействия приводят лишь к некоторому колебанию параметров около стабильной составляющей.
    Таким образом, реальную информацию () можно представить в виде суммы двух составляющих: трендовой () и хаотической () -

    , ,
    где k - номер фазовой координаты. Формой трендовой составляющей будет некоторая сглаженная кривая, не учитывающая резких хаотических (случайных) выбросов. Для ее определения были выбраны метод скользящих средних и полиномиальная аппроксимация.

    При полиномиальной аппроксимации использовался полиномом порядка m (m > 4), коэффициенты рассчитывались по методу наименьших квадратов (МНК). Хаотичность Hk подтвердилась экспериментально, так как полученные данные выглядят <случайно>, автокорреляционная функция быстро спадает, спектр мощности представляется сплошной широкой полосой на низких частотах, что отвечает критерию хаотичности [2, 5]. Следовательно, полученный полином является трендом. Для объема торгов и <открытого интереса>, если необходимо, можно выделить периодическую составляющую.

КОРРЕЛЯЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК С ТРЕНДАМИ

    Применим к сглаженным рядам (трендам) качественную теорию дифференциальных уравнений, найдем особые точки и построим траектории, образованные особыми точками для трендовой составляющей. Результаты проведенных расчетов представлены на рис. 3. Из анализа полученных результатов следует, что существует взаимосвязь между траекториями особых точек и реальными значениями трендовых составляющих. Наиболее интересным результатом в этом плане является возможность предсказать смены направления тренда по поведению особых точек.
    Действительно, моментам времени, когда траектории особых точек резко (скачком) меняют значения, соответствуют точки на реальной трендовой кривой (рис. 4), в которых, можно утверждать, происходит изменение направления тренда. Это хорошо видно из представленных результатов. Например, на рис. 3 для объема торгов это моменты времени 41-42, 84-85, 98-99, 113-114. Отметим соответствующие этим моментам времени точки на соответствующей сглаженной характеристике (см. рис. 4). Через некоторый временной интервал трендовая составляющая поменяет направление движения (достигнет экстремального значения) или скорость изменения, а значит, произойдет смена направления тренда либо изменение скорости роста или падения значений. Аналогичную зависимость можно отметить для цены - точки 42-43, 77-78, 87-88, 98-99, 115-116 и <открытого интереса> - точки 43-44, 58-59, 75-76, 90, 95, 105-106.
    Таким образом, скачки особых точек дают возможность предсказать момент смены тренда или поведение скорости изменения за несколько шагов до реального события. Например, для представленных значений этот интервал составляет от 2 до 5 дней в зависимости от параметра. Выбирая разные методы сглаживания экономических характеристик, получаем разные, но близкие (сходящиеся) значения. Меняя степень сглаживающего полинома в сторону увеличения, можно получить информацию об изменении траектории с большей степенью детализации.

ВЫВОДЫ

    1. Качественный анализ показал, что существует 5 положений равновесия соответствующей линеаризованной системы, и все они являются неустойчивыми, что подтверждает факт неустойчивости рынка в целом. Следовательно, долгосрочные прогнозы являются менее надежными и значительные преимущества имеют краткосрочные прогнозы.
    2. Отмечается корреляция между значениями трендовой составляющей и траекторией особых точек для соответствующей линеаризованной системы. Такая зависимость позволяет предсказывать моменты изменения направления движения реальных данных и формализовать процедуру принятия решений.
    Таким образом, качественная теория исследования систем дифференциальных уравнений показала, что существуют некоторые скрытые механизмы, определяющие поведение системы в будущем и появились новые возможности предсказывать тенденции изменения характеристик рынка.

    Литература
    1. Мерфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. М.: Сокол, 1996.
    2. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение / Пер. с англ. М.: Мир, 1998.
    3. Григорьев В., Козловских А., Ситникова О. Динамическая модель фьючерсного рынка // РЦБ. 2004. № 24. С. 42-44.
    4. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учебник для вузов. М.: Наука; Физматлит, 1998.
    5. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / Пер. с франц. М.: Мир, 1991.

  • Рейтинг
  • 1
Оставить комментарий
Добавить комментарий анонимно, введите имя:

Введите код с картинки:
Добавить комментарий как авторизованный посетитель: Войти в систему

Содержание (развернуть содержание)
Факты и комментарии
Подходы к созданию в России биржевой инфраструктуры для рынка коммерческих бумаг
Новости
"Сбалансированные" стратегии и глобальные продукты
Управление активами на товарных фьючерсных рынках
Пенсионные деньги для фондового рынка
Возможные альянсы "розничных" НПФ
Перспективы развития банковского законодательства и его кодификации
Управление операционными рисками в инвестиционном банке
Исследование математической модели фьючерсных рынков
Критерии оценки эффективности автоматизированных торговых систем
Оценка состояния финансовой архитектуры регионов
Реализация модели Центрального депозитария в российской учетной системе
Регулирование? Регулирование! Регулирование...
Развитие учетной системы: распространение услуг или концентрация рисков?
"Детская болезнь" кривизны рынка субфедеральных и муниципальных облигаций РФ
Рынок муниципальных и субфедеральных заимствований
Рынок региональных и муниципальных облигаций: итоги 2004 г. и оценка перспектив
Рост кредитоспособности российских регионов и муниципалитетов может замедлиться в ожидании завершения реформ
Финансовый инжиниринг на рынке государственных и муниципальных облигаций: возможности и риски
Новости МАБ СНГ
IPO вчера, сегодня, завтра...
Совершенствование законодательных основ размещения ценных бума
Правовые аспекты первичного размещения: особенности российского законодательства
Возможности инвестирования в IPO
Слагаемые успешного проведения IPO
Тенденции на рынке IPO в европе
Банковская автоматизация за рубежом: опыт и перспективы
Европейские биржи и клиринговые палаты
Кадровые перемещения в биржевом сообществе
События

  • Статьи в открытом доступе
  • Статьи доступны на платной основе
Актуальные темы    
 Сергей Хестанов
Девальвация — горькое лекарство
Оптимальный курс национальной валюты четко связан со структурой экономики и приоритетами денежно-кредитной политики. Для нынешней российской экономики наиболее логичным (и реалистичным) решением бюджетных проблем является девальвация рубля.
Александр Баранов
Управление рисками НПФов с учетом новых требований Банка России
В III кв. 2016 г. вступили в силу новые требования Банка России по организации системы управления рисками негосударственных пенсионных фондов.
Варвара Артюшенко
Вместе мы — сила
Закон синергии гласит: «Целое больше, нежели сумма отдельных частей».
Сергей Майоров
Применение blockchain для развития биржевых технологий и сервисов
Распространение технологий blockchain и распределенного реестра за первоначальные пределы рынка криптовалют — одна из наиболее дискутируемых тем в современной финансовой индустрии.
Все публикации →
  • Rambler's Top100